円筒形および長方形の導体の表皮効果: 渦電流と電流集中

時間とともに変化する電流は、導体の断面積全体にわたって不均一に分布します。 導体の高周波抵抗を近似するには、電流全体が導体表面のすぐ下の表皮深さ 1 層に均一に流れると仮定できます。 この近似は実際には、導体が半空間である特殊な場合に達成されます。

実際には、実際の導体の寸法は有限であり、断面が円形または長方形になる場合があります。 問われるべき問題は、導電性ハーフスペースで得られた結果が他のタイプのワイヤに適用できるかどうかです。

良好な導体に関するマクスウェル方程式を解くと、電流密度 J に関する次の微分方程式を見つけることができます。

$$\nabla ^2 J = j \omega \mu \sigma J$$

ベクトル微積分の概念に慣れていない場合は、∇2 (デルの 2 乗) という恐ろしい記号をラプラシアン演算子と呼びます。 簡単に言えば、ラプラシアン演算子は、複数の次元を持つ空間における二次導関数の概念を一般化したものです。 それは次のように与えられます。

$$\nabla ^2 = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}$$

式 1 は、良好な導体の電流分布を表します。 これは、導電性のハーフスペースと円形断面のワイヤの両方に有効です。 ただし、これら 2 種類のメディアに対して得られるソリューションはまったく異なります。 導電性半空間の場合、電流密度は単純な指数関数的に減衰する正弦関数です (平面波を扱っていると仮定した場合)。 しかし、円筒形の導体はどうなるでしょうか?

円筒形の基部を含む他の物理分野での経験から、ワイヤーの断面が円形の場合、式 1 の答えにはベッセル関数が含まれるはずであると正しく推測できたかもしれません。 これは、さまざまな現象に対する単純なモデルを開発しようと常に努めている私たちエンジニアにとっては朗報ではありません。 ベッセル関数は、円筒形の物体の熱伝導からドラムヘッドなどの薄い円形膜の振動の説明に至るまで、幅広い物理問題をモデル化するのに役立ちます。 ただし、視覚化するのが難しい場合があり、単純な指数関数的に減衰する正弦波よりもはるかに単純ではないことは明らかです。

これらの関数は複雑であるため、ここでは解析の数学的詳細については説明せず、Simon Ramo 著「Fields and Waves in Communication Electronics」に記載されている結果のみを見ていきます。 図 1 は、4 つの異なる周波数における直径 1 mm の丸線の断面にわたる電流分布の正規化された大きさを示しています。

上のグラフのパラメータ r0 はワイヤの半径を示します。 周波数 (f) が 1 kHz の場合、表皮深さは導体の半径 (または同等の r0/δ = 0.239) の約 4.2 倍です。 ご覧のとおり、この場合、電流分布はほぼ均一です。

周波数が増加するにつれて表皮深さは減少し、比 r0/δ は 1 kHz での 0.239 から 1 MHz での 7.55 まで増加します。 r0/δ=2.39の場合でも、ワイヤの中心での電流密度は導体の表面での電流密度のほぼ半分であることに注意してください。 これは、電流密度が深さ δ で表面値の e-1=0.37 に減少するという表皮効果の単純化された説明と一致しません。

図 2 は、r0/δ=2.39 および r0/δ=7.55 の実際の電流分布を、指数関数的に減衰する電流密度分布 (導電性半空間内の波の伝播に対応) と比較しています。 ご覧のとおり、半空間の場合の結果は、導体の曲率半径が表皮深さよりもはるかに大きい場合にのみ、円形ワイヤ内の実際の電流分布を近似するために使用できます。

経験則として、導体のすべての曲率半径と厚さが表皮深さの少なくとも 3 ～ 4 倍である場合、特定の導体は半無限のブロックに似ていると仮定します。 この 2 部構成のシリーズでは、これまでマクスウェルの方程式を解くことに頼って、表皮効果の最も重要な特徴のいくつかを説明してきました。 ファラデーの誘導の法則が導体の内部に渦電流をどのように生成するかに注目することで、この効果についてのより深い (そしておそらくより有益な) 洞察を得ることができます。 この洞察があれば、さまざまな相互接続がどのように動作するかをより深く理解できるようになります。